Для решения линейных однородных уравнений в частных производных рассмотренного выше типа часто применяется так называемый метод частных решений, восходящий в основе своей еще к Даниилу Бернулли и называемый иногда методом Фурье-Ламе но имени систематически разработавших его ученых.
Если такие решения могут быть найдены, то, как показывает более детальное исследование и как будет видно ниже на примерах, их всегда найдется бесконечное множество, причем они оказываются зависящими от одного или нескольких постоянных параметров, могущих принимать любые вещественные или комплексные значение.
Третий метод подхода к решению первой предельной задачи для прямоугольника.
Мы подробно разобрали вопрос о решении уравнений Лапласа в Пуассона для прямоугольника при произвольном распределении объемных зарядов внутри его и при произвольном задании граничных значений искомой функции, и дали полное решение этой задачи, которое в своей первичной форме получается в виде рядов, с помощью которых искомая функция определяется как внутри прямоугольника, так а на его границах.
Если отбросить последнее требование, т. е. если ограничиться нахождением решения лишь внутри прямоугольника, не заботясь о том, чтобы оно оставалось верным в на самой границе области, где значения искомой функции и без того известны по заданию, то можно поступить и иначе, чем это делалось выше, и получить решение задачи еще другим, притом более коротким, способом. Чтобы это показать, вернемся еще раз к вопросу о нахождении функции и, удовлетворяющей уравнению
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ЧАСТЬ I ВВЕДЕНИЕ Глава I. Общие законы электромагнитного поля и постановка основных задач о нахождении поля по заданным источникам его (7—32) § 1. Основные уравнения электромагнитного поля (7—11). § 2. Постановка основных задач о нахождении статических электрических и магнитных полей по заданным источникам их (11—26) § 3. Основные задачи в случае переменных полей (23—30) § 4. Некоторые проблемы математической физики, решение которых эквивалентно решению одной из основных задач теории электромагнитного поля (30—32) ЧАСТЬ II МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, ДОПУСКАЮЩИХ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Глава II. Метод частных решений и его применение к решению однородных уравнений (33—54) § 5. Общие принципы метода (33—31) § 6. Приложение метода частных решений к решению первой предельной задачи (задачи Дирихле) для уравнения Лапласа дли прямоугольной области (31—41) § 7. Другой способ получения того же решения первой предельной задачи для прямоугольника (41—51) Глава III. Применение второго способа использования частных решений для решения уравнения Пуассона (54—63) § 8. Первая предельная задача для прямоугольника для уравнения Пуассона (54—63) Глава IV. Третий метод решения первой предельной задачи и его распространение на граничные задачи иных типов (63—92) § 9. Третий метод подхода к решению первой предельной задачи для прямоугольника (63—70) § 10. Вторая предельная задача для прямоугольника (задача Неймана) (70—78) § 11. Распространение метода на другие предельные задачи для прямоугольника (78—87) § 12. Примеры на приложение развитых выше методов (87—92) Глава V. Внутренние предельные задачи для двухмерного волнового уравнения и прямоугольной области (92—102) § 13. Общие соображения и их применение к нахождению электромагнитного поля прохода, питаемого переменным током и помещенного в идеально проводящую трубу прямоугольного сечения (92—103) Глава VI. Задача об интегрировании трехмерных уравнений Лапласа, Пуассона и Гельмгольца для цилиндрических или призматических областей (103—122) § 14. Общий метод. Примеры (103—122) Глава VII. Общий метод решения некоторых краевых задач для определенного класса уравнений с разделяющимися переменными (123—135) § 15. Принципы метода и доказательство основной теоремы (123—135) Глава VIII. Приложение общего метода к решению уравнений, допускающих разделение переменных в цилиндрических координатах (135—182) § 16. Решение уравнений в цилиндрических координатах (135—153) § 17. Поле внутри или вне цилиндра (153—166) § 18. Несколько различных однородных сред. Граничные поверхности в виде коаксиальных круговых цилиндров (166—174) § 19. Плоская и пространственная задачи для секториального распределения сред (175—182) Глава IX. Приложение общего метода к решению уравнений, допускающих разделение переменных в сферических координатах (182—207) § 20. Решение уравнений в сферических координатах (182—207) Глава X. Применение общего метода к решению нестационарных проблем (первый способ) (207—215) § 21. Общие принципы. Примеры (207—215) Глава XI. Второй способ решения нестационарных проблем (215—231) § 22. Общие принципы (215—218) § 23. Теорема обращения Римана-Меллина (первая) (218 —220) § 24. Примеры на приложение второго способа (220—231) Глава XII. Улучшение сходимости рядов, получаемых при применении метода пятнадцатого параграфа и заключительные замечания о пределах применимости этого метода(232—254) § 25. Функция Грина обыкновенного дифференциального уравнения и ее основные свойства (232—239) § 26. Улучшение сходимости рядов, когда ни одно из характеристических чисел не равно нулю (239—244) § 27. функция Грина (обобщенная) в том случае, когда Х=0-характеристическое число. Её применение к улучшению сходимости рядов (244—248) § 28. Случай, когда р(х) обращается в нуль на одном из концов промежутка (а, b) (249—252) § 29. Заключительные замечания о решении уравнений с разделяющимися переменными (252—254) ЧАСТЬ III НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ИМАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Глава XIII. Основная задача электростатики в случае наличия в пространстве нескольких различных сред (255—272) § 30. Постановка задачи. „Свободные" заряды на поверхностях различных сред и уравнения для нахождения их распределения (255—260) § 31. Разбор на основе общего метода ряда элементарных случаев (260—269) § 32. Разбор ряда случаен с более сложными (комбинированными) формами поверхности раздела (269—272) Глава XIV. Специальный класс „плоских" задач электростатики (секториальное расположение сред) (272—320) § 33. Формулировка задачи (272—276) § 34. Первый этап решения задачи. „Преобразованные" плотности и уравнения для них (277—280) § 35. Вторая теорема обращения Римана—Меллина (280-233) § 36. Применение второй теоремы обращения Римана— Меллина к нахождению плотностей по их преобразованным значениям (282 —288) § 37. Две среды с прямоугольной поверхностью раздела (288—294) § 38. Две диэлектрические среды с плоскостями раздела, составляющими произвольный угол (294— 303) § 39. Три разнородных среды (303—306) § 40. Дополнительные замечания о нахождении плотностей в том случае, когда одна из сред—проводник, заполняющий целое полупространство (306) § 41. Нахождение электростатического поля и потенциала в любой точке пространства в случае секториального распределения сред (306—313) § 42. Поле и потенциал в случае двух различных сред (314—320) Глава XV. Плоская электростатическая задача для многослойного диэлектрика с плоско-параллельными поверхностями раздела сред (321—327) § 43. Нахождение плотностей поляризационных зарядов, выделяющихся на поверхностях раздела (321—324) § 44. Нахождение компонент поля (321—326) § 45. Нахождение комплексного потенциала поля (326—326) Глава XVI. Плоская магнитостатическая задача (327—335) § 46. Связь между решениями плоских электростатических и магнитостатических задач при одинаковой форме разграничивающих различные среды поверхностей (327-330) § 47. Примеры решения магнитостатических задач при помощи теоремы § 46 (330—335) Глава XVII. Инверсия в круге и ее применение к решению плоской электростатической задачи (336—365) § 48. Геометрическая часть (336—333) § 49. Электростатическая часть (338—346) § 50. Связь комплексных потенциалов первичной и „отраженной" задач (346-347) § 51. Применение инверсии к диэлектрическим клиньям (347—352) § 52. Биполярные координаты и их приложение к решению задач с помощью инверсии (352—363) § 53. Применение инверсии к нахождению поля пары произвольных, как угодно друг относительно друга расположенных цилиндров из разных диэлектриков, находящихся в однородной среде и внесенных в произвольное внешнее поле. Соответствующая токовая задача (363—365) Глава XVIII. Пространственная электростатическая задача в случае секториального распределения сред (365—404) § 54. Постановка задачи (365—372) § 55. Общее решение задачи (373—377) § 56. Доказательство теоремы обращения Конторовича—Лебедева (377—383) § 57. Применение формулы обращения к решению ключевой задачи (383—391) § 58. Применение общей методики к случаю прямоугольной поверхности раздела (391—397) § 59. Другой метод решения задачи в случае проводящего клина в однородной среде (397—400) § 60. Некоторые частные случаи задачи о клине (401—104) Глава XIX. Инверсия в шаре и ее применение к решению электростатических задач (404—425) § 61. Принципиальные основы метода инверсии в шаре (404—408) § 62. Потенциал и поле проводника, поверхность которого образована пересечением двух сфер (408—414) § 63. Плотность зарядов на поверхности сферического сегмента (414—419) § 64. Проводник, поверхность которого образована пересечением двух произвольных сфер, находящихся во внешнем поле (420—425) Глава XX. Некоторые общие теоремы, относящиеся к распределению электричества на проводниках и на тонких незамкнутых проводящих поверхностях (425—439) § 65. О распределении электричества на тонких незамкнутых проводящих поверхностях (425 - 439) § 66. Некоторые теоремы о потенциалах и зарядах, наводимых на проводниках внесенных в произвольное внешнее электрическое поле (435—439) ЧАСТЬ IV ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ Глава XXI. Электромагнитные волны в неоднородных (слоистых) средах (440—469) § 67. Распространение волн от вертикального излучателя в атмосфере с изменяющимися по высоте диэлектрической постоянной и проводимостью (440—448) § 68. Поле произвольной системы излучателей (448—458) § 69. Поле кругового витка (рамки) с вертикальной осью, расположенного над земной поверхностью, принимаемой за плоскость (вертикальная магнитная антенна) (458—464) § 70. Непосредственное нахождение нормальных к плоскостям раздела составляющих поля в слоистой среде (465—469) Глава XXII Дифракция от идеально-проводящего клина (470-485) § 71. Плоская задача о дифракции от идеально-проводящего клина (470—482) § 72. О дифракции пространственных волн от идеально-проводящего клина (482—485) Глава XXIII. О распространении радиоволн над поверхностью земли при учете ее сферичности и неоднородности атмосферы (485—506) § 73. Случай вертикального излучателя (485—492) § 74. Поле вертикального излучателя в предположении идеальной проводимости земли (492—498) § 75. Распространение над землей (сферой) радиоволн от произвольной системы излучателей (498—500) ЧАСТЬ V О НАХОЖДЕНИИ ПОЛЕЙ, ТРЕБУЮЩИХСЯ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ ЗАДАННОГО ТИПА Глава XXIV. Основы общей теории фокусирующего действия статических электрических и магнитных полей (507—535) § 77. Вводные замечания (507—510) § 78. Постановка задачи в случае цилиндрических полей (510-512) § 79. Вывод дифференциального уравнения, которым определяются условия фокусировки (512—516) § 80. Фокусировка пучков, ось которых совпадает с одной из эквипотенциальных линий электростатического поля (516—518) § 81. Пространственные электростатические поля. Разложение потенциала в смежности с одной из траекторий пучка (518—520) § 82. Вывод основных дифференциальных уравнений, связывающих распределение потенциала вдоль траектории с характером пучка (520—523) § 83. Исследование степени произвольности задания траекторий в пучке (523—.525) § 84. Общие законы фокусировки пространственных пучков (525—530) § 85. Пространственные траектории при одновременном наличии электростатического и магнитного полей (530—535) ЧАСТЬVI ТЕРМОИОННЫЕ ТОКИ В ВАКУУМЕ Глава XXV. Установившиеся процессы (536—576) § 86. Прохождение тока через плоский диод (536—540) § 87. Цилиндрический диод (540—543) § 88. Теория плоского магнетрона (543—556) § 89. Цилиндрический неразрезной магнетрон (556—576) Глава XXVI. Нестационарные процессы (576—653) § 90. Плоский диод (576—584) § 91. Цилиндрический диод (584—587) § 92. Некоторые теоремы, касающиеся нахождения возмущенных движений (587—595) § 93. Цилиндрический диод. Нахождение возмущенного движения (595—601) § 94. Вычисление импеданца цилиндрического диода, ток в котором ограничен объемным зарядом (604—616) § 95. Нелинейные эффекты при прохождении через плоский диод высокочастотного тока, ограниченного объемным зарядом (616—633) § 96. О начальном токе» текущем через плоский диод при внезапном приложении к нему импульсного напряжения (634—643) § 97. Вторая возможная стадия начального режима в плоском диоде (643—648) § 98. Начальный ток в плоском магнетроне (648—650) § 99. Теорема Шокли (650—653)
